Kali ini kita kan belajar tentang apa beda permutasi dan kombinasi yang mana siswa di haruskan untuk bisa memahami masing masing arti permutasi dan kombinasi dalam matematika dan di artikel ini akan membahasnya secara lengkap .
Permutasi dan kombinasi adalah dua konsep matematika yang digunakan untuk menghitung jumlah cara menyusun elemen dari suatu himpunan. Perbedaan utama antara keduanya terletak pada perhatian terhadap urutan.
Permutasi adalah cara menyusun elemen dari suatu himpunan dengan memperhatikan urutan. Artinya, susunan yang berbeda dianggap sebagai hasil yang berbeda.
Rumus permutasi dari n elemen yang diambil r adalah:
P(n, r) = n! / (n - r)!
di mana:
- P(n, r) adalah jumlah permutasi dari n elemen yang diambil r
- n adalah jumlah total elemen
- r adalah jumlah elemen yang diambil
- ! adalah simbol faktorial (n! = n * (n-1) * (n-2) * … * 1)
Contoh:
- Berapa banyak cara untuk memilih dan menyusun 3 pengurus kelas dari 5 siswa?
- Jawaban:
- n = 5 (jumlah total siswa)
- r = 3 (jumlah pengurus yang dipilih)
- P(5, 3) = 5! / (5 – 3)! = 5 * 4 * 3 / 2 = 60
- Ada 60 cara untuk memilih dan menyusun 3 pengurus kelas dari 5 siswa.
Kombinasi adalah cara menyusun elemen dari suatu himpunan tanpa memperhatikan urutan. Artinya, susunan yang berbeda tapi dengan elemen yang sama dianggap sebagai hasil yang sama.
Rumus kombinasi dari n elemen yang diambil r adalah:
C(n, r) = n! / (r! * (n - r)!)
di mana:
- C(n, r) adalah jumlah kombinasi dari n elemen yang diambil r
- n adalah jumlah total elemen
- r adalah jumlah elemen yang diambil
- ! adalah simbol faktorial (n! = n * (n-1) * (n-2) * … * 1)
Contoh:
- Berapa banyak cara untuk memilih 2 tim dari 5 pemain sepak bola?
- Jawaban:
- n = 5 (jumlah total pemain)
- r = 2 (jumlah pemain per tim)
- C(5, 2) = 5! / (2! * (5 – 2)!) = 5 * 4 / 2 * 3 = 10
- Ada 10 cara untuk memilih 2 tim dari 5 pemain sepak bola.
Sebelum masuk ke materi, pastikan kamu sudah memahami tentang faktorial. Faktorial adalah perkalian bilangan dengan bilangan sebelumnya. Contohnya, 5 faktorial (5!) adalah 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120.
Kaidah Pencacahan
Ada dua aturan dalam kaidah pencacahan:
- Aturan Penjumlahan: Digunakan untuk menghitung jumlah total dari beberapa kejadian yang tidak saling mempengaruhi.
- Aturan Perkalian: Digunakan untuk menghitung jumlah total dari beberapa kejadian yang saling mempengaruhi.
Contoh Aturan Penjumlahan:
Asta memiliki 2 topi hijau, 3 topi merah, dan 4 topi putih. Berapa banyak cara Asta dapat memakai topi-topinya?
Jawab:
Asta hanya bisa memakai satu topi di kepalanya. Jadi, kita gunakan aturan penjumlahan.
Jumlah cara = topi hijau + topi merah + topi putih = 2 + 3 + 4 = 9 cara
Contoh Aturan Perkalian:
Ada angka 2, 4, 6, 7, dan 9. Berapa banyak cara angka-angka tersebut disusun menjadi bilangan yang terdiri dari 4 digit yang berbeda?
Jawab:
Kita akan menyusun 4 digit yang berbeda.
- Digit pertama: Ada 5 pilihan angka (2, 4, 6, 7, 9).
- Digit kedua: Ada 4 pilihan angka yang tersisa.
- Digit ketiga: Ada 3 pilihan angka yang tersisa.
- Digit keempat: Ada 2 pilihan angka yang tersisa.
Jumlah cara = 5 x 4 x 3 x 2 = 120 cara
Apa beda permutasi dan kombinasi
Sekarang setelah anda mengetahui hal yang sudah saya jelaskan di atas , maka saatnya untuk membahas secara detail mengenai apa beda permutasi dan kombinasi, adalah sebagai berikut ini.
1. Permutasi:
- Mempertimbangkan urutan.
- Digunakan untuk menghitung jumlah susunan dari unsur-unsur yang berbeda.
- Rumus: n faktorial / (n – k) faktorial
Contoh Permutasi:
Berapa banyak cara menyusun huruf dari kata “MOBIL”?
Jawab:
Ada 5 huruf yang berbeda.
Jumlah cara = 5! / (5 – 1)! = 5! / 4! = 120 cara
2. Kombinasi:
- Tidak mempertimbangkan urutan.
- Digunakan untuk menghitung jumlah cara memilih k unsur dari n unsur.
- Rumus: nC(k) = n! / (k! * (n – k)!)
Contoh Kombinasi:
Berapa banyak cara memilih 2 siswa dari 20 siswa untuk menjadi ketua dan wakil ketua kelas?
Jawab:
Ada 20 siswa dan kita akan memilih 2 siswa.
Jumlah cara = 20C(2) = 20! / (2! * (20 – 2)!) = 20! / (2! * 18!) = 190 cara
Soal Bonus:
Soal Kiri:
Sebuah keluarga yang terdiri dari ayah, ibu, dan 3 anak mengadakan syukuran. Mereka duduk melingkar di meja makan. Berapa banyak cara menyusun tempat duduk jika ayah dan ibu harus selalu berdampingan?
Jawab:
Total orang: 4 (ayah dan ibu dihitung sebagai satu kesatuan, 3 anak).
Jumlah cara = 3! * 2! = 12 cara
Soal Kanan:
Sama seperti soal kiri, tetapi tidak ada ketentuan ayah dan ibu harus berdampingan.
Jawab:
Total orang: 5.
Jumlah cara = 4! * 2! = 24 cara
Penjelasan Soal Bonus:
Pada soal kiri, ayah dan ibu dihitung sebagai satu kesatuan karena mereka harus selalu berdampingan. Oleh karena itu, total orangnya menjadi 4.
Pada soal kanan, tidak ada ketentuan ayah dan ibu harus berdampingan. Oleh karena itu, total orangnya tetap 5.
Kesimpulan
Kaidah pencacahan permutasi dan kombinasi digunakan untuk menghitung jumlah cara dari berbagai kejadian. Aturan penjumlahan digunakan untuk kejadian yang tidak saling mempengaruhi, sedangkan aturan perkalian digunakan untuk kejadian yang saling mempengaruhi.
Demikianlah penjelasan mengenai apa beda permutasi dan kombinasi yang bisa kami sampaikan , semoga bisa bermanfaat . bagikan jika memang menurut anda berguna .
